Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

0.0/5 оценка (0 голосов)

В книге излагаются основные разделы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Рассматриваются методы получения точных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; значительное внимание уделяется вопросам существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от исходных данных. Приводятся методы решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, линейных и нелинейных уравнений первого порядка в частных производных; обсуждаются вопросы качественного исследования этих решений. Основы вариационного исчисления рассматриваются по причине тесной связи данного раздела высшей математики с теорией дифференциальных уравнений. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Некоторые обозначения 7
Введение 8
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений 12
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка12
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первогопорядка 18
§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.Метод введения параметра и задача Коши 34
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия и методырешения 41
2 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с постояннымикоэффициентами 52
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейныхуравнений с постоянными коэффициентами 52
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п с постояннымикоэффициентами 57
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п с постояннымикоэффициентами 65
3 Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами 73
§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами. Общиепонятия и метод исключения 73
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с постояннымикоэффициентами 76
§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы спостоянными коэффициентами 88
§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами спомощью матричной экспоненты 94
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решениядифференциальных уравнений 103
§ 6. Методы решения произвольных линейных систем с постояннымикоэффициентами 108
4 Исследование задачи Коши 113
§ 1. Вспомогательные предложения 113
§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши для нормальнойсистемы дифференциальных уравнений 117
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 127
§ 4. Общее решение дифференциального уравнения 132
§ 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных.Корректность задачи Коши 135
§ 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения первогопорядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения 145
5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений спеременными коэффициентами 152
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системыуравнений с переменными коэффициентами 152
§ 2. Линейные однородные системы 158
§ 3. Линейные неоднородные системы 167
6 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с переменнымикоэффициентами 171
§ 1. Общие свойства 171
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п 174
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 179
§ 4. Граничные задачи 185
§ 5. Теорема Штурма 193
§ 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенныхрядов. Уравнение Бесселя 199
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшейпроизводной 205
7 Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теорияустойчивости 212
§ 1. Общие свойства 212
§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системывторого порядка 222
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 230
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 241
§ 5. Первые интегралы 251
8 Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка261
Введение 261
§ 1. Линейные однородные уравнения 263
§ 2. Квазилинейные уравнения 271
§ 3. Нелинейные уравнения 281
9 Основы вариационного исчисления 289
Введение 289
§ 1. Простейшая вариационная задача 291
§ 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функционаловболее общего интегрального типа 301
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей изадача Больца 310
§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме функционалов318
§ 5. Изопериметрическая задача 322
§ 6. Задача Лагранжа 326
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 331
Литература 341
Предметный указатель 343

Спецификации

  • Год: 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 344 с.
  • Внимание!!!: Вы можете скачать книгу по ссылке ниже - БЕСПЛАТНО.

Яндекс.Метрика