Сборник задач по высшей математике.

Сборник задач по высшей математике.

0.0/5 оценка (0 голосов)

Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 8

От редакции 8

Глава 1. Аналитическая геомегрия на плоскости 9

§ 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние

между двумя точками 9

§2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника 11

§3. Уравнение линии как геометрического места точек 12
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) общее, 3) в отрезках на осях 14

§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через

данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Точка пересечения двух

прямых 16

§6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения

биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения

двух данных прямых 19

§7. Смешанные задачи на прямую 21

§ 8. Окружность 22

§9. Эллипс 24

§ 10. Гипербола 26

§11. Парабола 29

§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго

порядка 32

§ 13. Преобразование декартовых координат. Параболы у =

= ах2 + Ьх + с и х = ay2 + by + с. Гипербола ху = к . 35

§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка 38

§ 15. Общее уравнение линии второго порядка 40

§ 16. Полярные координаты 44

§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков 48

§ 18. Трансцендентные кривые 49

Глава 2. Векторная алгебра 51

§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр 51
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора

в пространстве 53

§3. Скалярное произведение двух векторов 55

§ 4. Векторное произведение двух векторов 58

§5. Смешанное произведение трех векторов 60

Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве 62

§ 1. Уравнение плоскости 62

§2. Основные задачи на плоскость 63

§ 3. Уравнения прямой 65

§ 4. Прямая и плоскость 68

§5. Сферические и цилиндрические поверхности 70

§6. Конические поверхности и поверхности вращения 72

§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 74

Глава 4. Высшая алгебра 78

§ 1. Определители 78

§2. Системы линейных уравнений 80

§3. Комплексные числа 83

§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное решение

уравнений 86

Глава 5. Введение в анализ 90

§ 1. Переменные величины и функции 90

§2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие 93

§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей

0 °° 97

вида - и – 97

0 оо

Sill Q(

§ 4. Предел отношения при а –У 0 98

а

§ 5. Неопределенности вида оо – оо и 0 • оо 99

§6. Смешанные примеры на вычисление пределов 100

§7. Сравнение бесконечно малых 101

§8. Непрерывность функции 102

§ 9. Асимптоты 105

§ 10. Число е 106

Глава 6. Производная и дифференциал 108

§ 1. Производные алгебраических и тригонометрических

функций 108

§2. Производная сложной функции 110

§3. Касательная и нормаль к плоской кривой 111

§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции 113

§5. Производные логарифмических и показательных функций 114

§6. Производные обратных тригонометрических функций 116

§7. Производные гиперболических функций 117

§ 8. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование 118

§9. Производные высших порядков 119

§ 10. Производная неявной функции 121

§11. Дифференциал функции 123

§ 12. Параметрические уравнения кривой 124

Глава 7. Приложения производной 127

§ 1. Скорость и ускорение 127

§2. Теоремы о среднем 128

§3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 131

§ 4. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум 133

§ 5. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин 136
§ 6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой.

Построение кривых 138

Глава 8. Неопределенный интеграл 140

§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 140

§2. Интегрирование подстановкой и непосредственное 142

§3. Интегралы вида j --j, j -/===, j -/==

и к ним приводящиеся 145

§ 4. Интегрирование по частям 147

§5. Интегрирование тригонометрических функций 148

§6. Интегрирование рациональных алгебраических функций 150
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций 152

§8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 155
§9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки 156

§ 10. Смешанные примеры на интегрирование 157

Глава 9. Определенный интеграл 160

§ 1. Вычисление определенного интеграла 160

§2. Вычисление площадей 163

§3. Объем тела вращения 165

§ 4. Длина дуги плоской кривой 167

§5. Площадь поверхности вращения 169

§ 6. Задачи из физики 170

§ 7. Несобственные интегралы 172

§8. Среднее значение функции 175

§9. Формула трапеций и формула Симпсона 176

Глава 10. Кривизна плоской и пространственной кривой 178

§ 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны.

Эволюта 178

§2. Длина дуги кривой в пространстве 180

§3. Производная вектор-функции по скаляру и ее механическое и геометрическое значение. Естественный трехгранник кривой 180

§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой 183

Глава 11. Частные производные, полные дифференциалы

и их приложения 185

§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изображение 185

§2. Частные производные первого порядка 187

§3. Полный дифференциал первого порядка 189

§4. Производные сложных функций 191

§5. Производные неявных функций 192

§ 6. Частные производные и полные дифференциалы высших

порядков 194

§ 7. Интегрирование полных дифференциалов 198

§8. Особые точки плоской кривой 199

§9. Огибающая семейства плоских кривых 200

§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 201

§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.

Производная в данном направлении. Градиент 203

§ 12. Экстремум функции двух переменных 205

Глава 12. Дифференциальные уравнения 207

§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении 207

§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися

переменными. Ортогональные траектории . 208

§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:

1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли 211

§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы произведения и частного 213

§ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных

дифференциалах. Интегрирующий множитель 213

§6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро 215

§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 217

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами 218

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами 219

§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221

§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера хпуп +

+ mi- -V-11 + • • • + ап_1ху1 + апу = f(x) 222

§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 223

§ 13. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (метод характеристик) 224

Глава 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы 226

§ 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла 226
§ 2. Центр масс и момент инерции площади с равномерно распределенной массой (при плотности /i = 1) 228

§3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла . 230

§4. Площади кривых поверхностей 231

§5. Тройной интеграл и его приложения 232

§6. Криволинейный интеграл. Формула Грина 234

§ 7. Поверхностные интегралы.

Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса 238

Глава 14. Ряды 242

§ 1. Числовые ряды 242

§2. Равномерная сходимость функционального ряда 245

§3. Степенные ряды 247

§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена 249

§5. Приложения рядов к приближенным вычислениям 251

§6. Ряд Тейлора для функции двух переменных 254

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье 255

Ответы 260

Приложение. Некоторые кривые (для справок) 332

Спецификации

  • Год: М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 336с.
  • Внимание!!!: Вы можете скачать книгу по ссылке ниже - БЕСПЛАТНО.

Яндекс.Метрика