Высшая математика. Основы математического анализа.

Высшая математика. Основы математического анализа.

0.0/5 оценка (0 голосов)

Настоящая книга охватывает вопросы, касающиеся основ математического анализа, которые изучаются в рамках курса «Высшая математика» в высших учебных заведениях. Она содержит следующие разделы математического анализа: пределы и непрерывность функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Приведены некоторые предварительные сведения из теории множеств и введено понятие действительного числа. Рассмотрены основные понятия теории комплексных чисел. Для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов, а также для изучающих в том или ином объеме высшую математику.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Введение 9
§ 1.1. Множества. Операции над множествами 9
§ 1.2. Действительные числа 11
§ 1.3. Числовые промежутки. Окрестность точки 14
Глава 2. Предел последовательности 15
§ 2.1. Понятие предела последовательности 15
§ 2.2. Свойства сходящихся последовательностей 17
§ 2.3. Предельный переход в неравенствах 18
§ 2.4. Арифметические действия с пределами 19
§ 2.5. Монотонные последовательности 21
§ 2.6. Число е 21
Глава 3. Функции 24
§ 3.1. Понятие функции и способы ее задания 24
§ 3.2. Арифметические действия над функциями. Сложная и обратная функции 25
§ 3.3. Основные элементарные функции и их графики 27
Глава 4. Предел функции 30
§ 4.1. Понятие предела функции 30
§ 4.2. Односторонние пределы 33
§ 4.3. Основные теоремы о пределах функций 34
§ 4.4. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел 36
§ 4.5. Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции 37
§4.6. Теоремы о предельных переходах в неравенствах 38
§4.7. Первый замечательный предел 40
§4.8. Второй замечательный предел 41
§4.9. Бесконечно малые функции. Основные свойства 43
§4.10. Бесконечно большие функции 46
§4.11. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями 47
§4.12. Сравнение бесконечно малых функций 48
§4.13. Эквивалентные бесконечно малые функции 50
Глава 5. Непрерывность функции 54
§5.1. Понятие непрерывности функции 54
§ 5.2. Арифметические операции над непрерывными функциями 56
§5.3. Непрерывность сложной функции 56
§5.4. Точки разрыва функции и их классификация 57
§ 5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке 58
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 61
§6.1. Понятие производной 61
§ 6.2.Геометрическая интерпретация производной. Касательная к графику функции 62
§ 6.3. Физическая интерпретация производной 63
§ 6.4. Необходимое условие существования производной 64
§ 6.5. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций 65
§6.6. Дифференцирование сложной функции 67
§6.7. Теорема о существовании обратной функции. Дифференцирование обратной функции 68
§ 6.8. Производные основных элементарных функций 69
§6.9. Гиперболические функции и их производные 73
§ 6.10. Таблица производных 75
§ 6.11. Дифференцирование параметрически заданных функций 76
§6.12. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции 77
§6.13. Понятие дифференцируемости функции 78
§6.14. Понятие дифференциала функции 79
§6.15. Геометрический смысл дифференциала функции 80
§6.16. Инвариантность формы первого дифференциала 81
§ 6.17. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного функций 82
§6.18. Таблица дифференциалов 82
§6.19. Производные высших порядков 83
§6.20. Дифференциалы высших порядков 85
§ 6.21. Основные теоремы дифференциального исчисления 87
§ 6.22. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 90
§ 6.23. Формула Тейлора 94
§6.24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 96
§6.25. Формула Маклорена некоторых элементарных функций 98
§ 6.26. Условия возрастания и убывания функций 99
§ 6.27. Экстремумы функций 101
§6.28. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 104
§6.29. Направление выпуклости графика функции 106
§6.30. Точки перегиба графика функции 107
§ 6.31. Асимптоты графика функции 108
§6.32. Общая схема исследования функций и построение графиков 111
Глава 7. Комплексные числа 114
§7.1. Понятие комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами 114
§7.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа. 115
§ 7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа 117
§7.4. Показательная форма комплексного числа 120
§7.5. Извлечение корней из комплексных чисел 122
Глава 8. Неопределенный интеграл 125
§8.1. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла 125
§ 8.2. Основные свойства неопределенного интеграла 127
§8.3. Таблица основных неопределенных интегралов 129
§8.4. Замена переменной в неопределенном интеграле 130
§8.5. Метод интегрирования по частям 133
§ 8.6. Алгебраические многочлены 135
§ 8.7. Рациональные функции. Разложение на простейшие дроби 138
§8.8. Интегрирование рациональных дробей 142
§ 8.9. Универсальная тригонометрическая подстановка 146
§8.10. Вычисление интегралов типа sinm xcos x dx 149
§ 8.11. Интегрирование выражений с помощью тригонометрических преобразований 151
§ 8.12. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей 151
§8.13. Интегрирование биномиальных дифференциалов 153
§8.14. Интегрирование квадратичных иррациональностей. 154
Глава 9. Определенный интеграл 156
§9.1. Понятие определенного интеграла 156
§ 9.2. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций 157
§ 9.3. Геометрический смысл определенного интеграла 159
§ 9.4. Основные свойства определенного интеграла 160
§ 9.5. Формула Ньютона-Лейбница 164
§9.6. Замена переменной в определенном интеграле 166
§9.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле 167
§9.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл первого рода) 169
§ 9.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Теоремы сравнения 171
§ 9.10. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 175
§ 9.11. Несобственный интеграл от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода) 177
§ 9.12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах 181
§9.13. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах 182
§ 9.14. Вычисление длины дуги кривой 185
§9.15. Вычисление объема тела 190
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 194
§ 10.1. Понятие функции многих переменных 194
§ 10.2. Открытые множества 196
§ 10.3. Предел функции двух переменных 197
§ 10.4. Непрерывность функции двух переменных 200
§ 10.5. Частные производные 202
§ 10.6. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных 203
§ 10.7. Дифференцируемые функции 206
§ 10.8. Дифференциал функции. Правила дифференцирования 208
§ 10.9. Дифференциалы высших порядков 210
§ 10.10. Производная сложной функции 210
§ 10.11. Инвариантность формы первого дифференциала 212
§ 10.12. Производная по направлению 212
§ 10.13. Градиент 214
§ 10.14. Формула Тейлора 215
§ 10.15. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции 217
§ 10.16. Касательная плоскость. Нормаль к поверхности 221
§ 10.17. Экстремумы. Необходимое условие экстремума 224
§ 10.18. Достаточное условие экстремума 226
§ 10.19. Условный (относительный) экстремум 228
§ 10.20. Наибольшее и наименьшее значения функции 232
Предметный указатель 235

Настоящая книга охватывает вопросы, касающиеся основ математического анализа, которые изучаются в рамках курса «Высшая математика» для различных специальностей высших учебных заведений.
При написании книги автор стремился соблюдать ставший традиционным порядок изложения курса лекций по высшей математике, а также старался излагать материал на доступном и строгом математическом языке.

Спецификации

  • Год: М.: 2004. - 240 с.
  • Внимание!!!: Вы можете скачать книгу по ссылке ниже - БЕСПЛАТНО.

Яндекс.Метрика