Совет для подготовки
Прежде чем раскрывать скобки, проверьте,
подходит ли формула сокращённого умножения.
Если после преобразования остаются слагаемые
с одинаковым корнем, объедините их:
они могут сократиться, оставив простой числовой ответ.
Частые вопросы: числовые выражения с квадратными корнями
Какие задания входят в четвёртую часть?
В подборке десять заданий на вычисление
числовых выражений с квадратными корнями.
Встречаются произведения и частные корней,
степени, суммы и разности в скобках,
а также формулы сокращённого умножения.
В отличие от третьей части,
подставлять значения переменных здесь не нужно.
Как умножать и делить квадратные корни?
Для неотрицательных a и b выполняется
√a · √b = √(ab).
При a ≥ 0 и b > 0 можно использовать
√a / √b = √(a/b).
Сначала упростите произведение или частное
под корнем: результат может оказаться
точным квадратом.
Что делать с коэффициентами перед корнями?
Умножайте коэффициенты отдельно от корней.
Например, 2√3 · 5√12 = 10√36 = 60.
Не переносите коэффициент под корень
без изменения: для неотрицательного k
выполняется k√a = √(k²a).
Как вынести множитель из-под корня?
Найдите в подкоренном числе множитель,
который является точным квадратом.
Например, √72 = √(36 · 2) = 6√2.
Такое преобразование помогает получить
одинаковые корни в разных слагаемых
и затем сложить или вычесть их коэффициенты.
Как возвести выражение с корнем в квадрат?
Если в скобках произведение,
возведите в квадрат каждый множитель:
(k√a)² = k²a при a ≥ 0.
Например, (3√5)² = 9 · 5 = 45.
Если в скобках сумма или разность,
используйте соответствующую формулу:
отдельно возвести слагаемые в квадрат
недостаточно.
Как раскрывать скобки при умножении на корень?
Умножьте каждое слагаемое в скобках
на множитель за скобками.
Например, (√12 + √3)√3
= √36 + 3 = 9.
При разности сохраняйте знак минус
перед соответствующим произведением.
Как применять формулу квадрата разности?
Используйте равенство
(u − v)² = u² − 2uv + v².
Не пропускайте удвоенное произведение.
Если u или v содержит корень,
после раскрытия скобок проверьте,
есть ли в выражении подобные слагаемые,
которые можно объединить или сократить.
Как упростить произведение суммы и разности?
Примените формулу
(u − v)(u + v) = u² − v².
Например, (√13 − 2)(√13 + 2)
= 13 − 4 = 9.
Формула также работает,
когда оба выражения являются корнями:
(√a − √b)(√a + √b) = a − b
при a ≥ 0 и b ≥ 0.
Как извлечь корень из числа в чётной степени?
Представьте подкоренную степень как квадрат.
Например, √(5⁴) = √((5²)²) = 25.
В общем случае √(u²) = |u|.
Для положительного числового основания
корень из его чётной степени получают,
разделив показатель пополам.
Когда можно складывать слагаемые с корнями?
После упрощения можно объединять слагаемые
с одинаковой корневой частью:
3√2 + 5√2 = 8√2.
При этом складывают коэффициенты,
а корень оставляют без изменения.
Если корни различаются, сначала проверьте,
можно ли вынести из-под них квадратные множители.
Нужно ли вычислять корни приближённо?
Для представленных заданий используйте
точные преобразования. Округлённые значения
корней могут привести к неточному ответу,
даже если исходное выражение упрощается
до целого числа или конечной десятичной дроби.
Округляйте только при прямом указании в условии.
Могут ли задания отличаться от приведённых примеров?
Да. Описание отражает представленную подборку,
а не все возможные формулировки задания №8.
Числа, коэффициенты и сочетания действий
могут меняться. Каждый раз проверяйте
границы корней и скобок, выбирайте
подходящее свойство или формулу
и сохраняйте точность вычислений.
