Новые задания ОГЭ 2026 по математике (ФИПИ) — разбор и решения

$6<A<7$ ⇒ $36<A^2<49$.

Из вариантов подходят: $\sqrt{37}$ и $\sqrt{47}$.

Точка A ближе к 6 ⇒ выбираем $\sqrt{37}$.

$8x-6x=20+8$.

$2x=28$.

${\displaystyle x=\frac{28}{2}=14}$.

$2x-10=x+5$.

$2x-x=5+10$.

$x=15$.

$2x-10-x=5$.

$x-10=5$.

$x=5+10$.

$x=15$.

$3x+30-2x+20=10$.

$x+50=10$.

$x=10-50$.

$x=-40$.

Общее число исходов: $6\times 6=36$

Благоприятные исходы:

• Сумма 3: $(1,2)$, $(2,1)$ — 2 варианта

• Сумма 4: $(1,3)$, $(3,1)$, $(2,2)$ — 3 варианта

• Сумма 5: $(1,4)$, $(4,1)$, $(2,3)$, $(3,2)$ — 4 варианта

Всего благоприятных исходов: $2+3+4=9$

Вероятность: ${\displaystyle P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}}$

Общее число исходов: $N=25$

Число благоприятных исходов: $N\left(A\right)=10$

Вероятность события $A$: ${\displaystyle P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}}$

После извлечения первого зелёного карандаша в ящике осталось: 12 жёлтых и 8 зелёных карандашей, всего 20 карандашей

Вероятность вынуть второй зелёный карандаш: ${\displaystyle P=\frac{8}{20}=\mathrm{0,4}}$

Всего бросков: 20, орёл выпал 8 раз, значит, решка выпала $20-8=12$ раз

Вероятность выпадения решки при конкретном броске (в т. ч. тринадцатом) оценивается по частоте её появления в серии: ${\displaystyle P=\frac{12}{20}=\mathrm{0,6}}$

Общее количество маркеров: $24+8=32$

Количество синих маркеров: 8

Вероятность того, что случайно взятый маркер окажется синим: ${\displaystyle P=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}}$

Общее число исходов: $24+18+6+12=60$

Событие $\overline{A}\cup B$ включает исходы:

• вне кругов ($24$ — не A и не B),

• в пересечении $A\cap B$ ($6$),

• только в B ($12$).

Благоприятные исходы: $24+6+12=42$

Вероятность: ${\displaystyle P=\frac{42}{60}=\frac{7}{10}=\mathrm{0,7}}$

Общее количество точек (элементарных исходов) на диаграмме: $10$.

Событие $\overline{A\cap B}$ — это все исходы, которые НЕ принадлежат пересечению событий A и B.

По условию, количество точек, не входящих в пересечение A ∩ B, равно $8$. Эти точки и являются благоприятными исходами для события $\overline{A\cap B}$.

Вероятность: ${\displaystyle P=\frac{8}{10}=\mathrm{0,8}}$.

Из диаграммы Эйлера известны вероятности областей: только $A$ — $\mathrm{0,3}$; только $B$ — $\mathrm{0,2}$; пересечение $A\cap B$ — $\mathrm{0,1}$; ни $A$, ни $B$ — $\mathrm{0,4}$.

Вероятность события $A$ равна сумме вероятностей областей «только $A$» и «$A\cap B$».

Вероятность: $P\left(A\right)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}$.

Событие $\overline{A}\cap B$ — часть B, не пересекающаяся с A (точки только в круге B).

На диаграмме вероятности этих точек: 0,05 (верх B) и 0,1 (правая часть B).

Вероятность: $P\left(A\right)=\mathrm{0,05}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,15}$.

Находим пути, ведущие к событию $B$: $S\to A\to B$ и $S\to \overline{A}\to B$.

Рассчитываем вероятность первого пути: $P(A\to B)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,15}$.

Рассчитываем вероятность второго пути: $P(\overline{A}\to B)=\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,15}$.

Суммируем вероятности путей: $P\left(B\right)=\mathrm{0,15}+\mathrm{0,15}=\mathrm{0,3}$.

По условию $BM=AM=MC$, значит ${\displaystyle BM=\frac{1}{2}AC}$.

Если медиана равна половине стороны, к которой проведена — треугольник прямоугольный, причём $\angle B=90°$.

В прямоугольном $△ABC$: $\angle A+\angle C=90°$.

Подставляем $\angle C=66°$: $\angle A=90°-66°=24°$.

Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK=CK$), значит $\angle KAC=\angle KCA=21°$ (по условию $\angle C=21°$).

$AK$ — биссектриса, поэтому $\angle BAC=42°$.

В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180°$: $\angle A+\angle B+\angle C=180°$. Подставляем известные значения: $42°+\angle B+21°=180°$. Отсюда $\angle B=180°-63°=117°$.

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает, $r$ — радиус вписанной.

Формула радиуса: ${\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}}$, где $a$ — сторона.

По условию: ${\displaystyle r=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$. Подставляем: ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}}$.

Решаем:

• Крест‑на‑крест: ${\displaystyle 3\cdot a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot 6}$.

• Упрощаем: ${\displaystyle 3a\sqrt{3}=12\sqrt{3}}$.

• Находим $a$: ${\displaystyle a=\frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=4}$.

$\mathrm{OK}$ — радиус вписанной окружности (расстояние от центра $O$ до стороны $\mathrm{BC}$, $K$ — точка касания).

По условию: $\mathrm{tg}\mathrm{BCA}=\mathrm{0,75}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

В прямоугольном треугольнике $\mathrm{OKC}$: ${\displaystyle \frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{KC}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Пусть: $\mathrm{OK}=3x,\mathrm{KC}=4x$, где $x$ — одна часть.

По теореме Пифагора для треугольника $\mathrm{OKC}$:

${\mathrm{OC}}^2={\mathrm{OK}}^2+{\mathrm{KC}}^2$

${\mathrm{OC}}^2={\left(3x\right)}^2+{\left(4x\right)}^2$

${\mathrm{OC}}^2=9x^2+16x^2$

${\mathrm{OC}}^2=25x^2$

$\mathrm{OC}=5x$

Так как $\mathrm{OC}=12$ (половина диагонали $\mathrm{AC}=24$):

$5x=12$

$x={\displaystyle \frac{12}{5}}=\mathrm{2,4}$

Находим радиус: $\mathrm{OK}=3\cdot \mathrm{2,4}=\mathrm{7,2}$.

Диагональ прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ – диаметр окружности $\Rightarrow \mathrm{AC}=34$.

${\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}\Rightarrow \mathrm{AB}=16}$

(пропорция: ${\displaystyle \frac{8}{17}}={\displaystyle \frac{x}{34}}\to x=16$).

По теореме Пифагора:

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AB}}^2={34}^2-{16}^2=900\Rightarrow \mathrm{BC}=30$

Площадь прямоугольника: $S=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}=16\cdot 30=480$

$ABCD$ — равнобедренная трапеция ⇒ $\angle BAD=\angle ADC=62°$

$AC$ — биссектриса $\angle BAD$ ⇒ ${\displaystyle \angle CAD=\frac{62°}{2}=31°}$

В $\mathrm{\Delta }ACD$:

• $\angle ADC=62°$

• $\angle CAD=31°$

Сумма углов треугольника $180°$

$\angle ACD=180°-\angle ADC-\angle CAD=180°-62°-31°=87$

$\angle A=\angle D=64°$ (равнобедренная трапеция).

В $\mathrm{\Delta }ACD$: $\angle CAD=180°-\angle D-\angle ACD=180°-64°-81°=35°$.

$AD$ $\parallel$ $BC$, $AC$ — секущая $\Rightarrow$ $\angle BCA=\angle CAD$ (накрест лежащие углы).

$\angle BCA=\angle CAD=35°$.

$\angle A=\angle D=67°$ (равнобедренная трапеция).

$\angle A$ состоит из $\angle \mathrm{BAC}$ и $\angle \mathrm{CAD}$: $\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{BAD}-\angle \mathrm{BAC}$.

Подставляем значения: $\angle \mathrm{CAD}=67°-26°=41°$.

$\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{CAD}=41°$ как накрест лежащие углы при $\mathrm{AD}$ $\parallel$ $\mathrm{BC}$ и секущей $\mathrm{AC}$.

В равнобедренной трапеции $\mathrm{ABCD}$ ($\mathrm{BC}\parallel \mathrm{AD}$): $\angle A+\angle C=180°$.

По условию: $\angle \mathrm{BAC}=28°$, $\angle \mathrm{ACD}=82°$ $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ACD}=110°$.

$\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAD}=180°-(\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ACD})=180°-110°=70°$.

$\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{CAD}$ (накрест лежащие) $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{70°}{2}}=35°$.

$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=28°+35°=63°$.

$\angle \mathrm{CDA}=\angle \mathrm{BAD}=63°$ (равнобедренная трапеция).

Обозначения:

Ромб $\mathrm{ABCD}$, $\angle \mathrm{BCD}=114°$;

$O$ — точка пересечения диагоналей $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BD}$;

$\mathrm{AH}$ — высота из $A$ на $\mathrm{CD}$, $H\in \mathrm{CD}$;

$K$ — точка пересечения $\mathrm{AH}$ с большей диагональю $\mathrm{BD}$.

$\angle \mathrm{ACD}={\displaystyle \frac{\angle \mathrm{BCD}}{2}}={\displaystyle \frac{114°}{2}}=57°$ (диагональ $\mathrm{AC}$ — биссектриса).

Рассмотрим $△\mathrm{ACH}$ и $△\mathrm{AOK}$:

• $\angle \mathrm{AHC}=90°$ и $\angle \mathrm{AOK}=90°$ ($\mathrm{AH}\perp \mathrm{CD}$ и $\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$);

• $\angle \mathrm{CAH}=\angle \mathrm{OAK}$ (один и тот же угол).

Следовательно, $△\mathrm{ACH}\sim △\mathrm{AOK}$ по двум углам, откуда $\angle \mathrm{AKO}=\angle \mathrm{ACH}=57°$.

В ромбе односторонние углы в сумме дают $180°$, поэтому тупой угол: $180°-36°=144°$.

Меньшая диагональ — биссектриса тупого угла, поэтому искомый угол между стороной и меньшей диагональю: ${\displaystyle \frac{144°}{2}}=72°$.

Обозначения:

Ромб $\mathrm{ABCD}$;

$O$ — точка пересечения диагоналей $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BD}$;

$\mathrm{OH}$ — перпендикуляр к $\mathrm{AB}$;

$\angle \mathrm{AOH}=39°$.

$△\mathrm{AOH}\sim △\mathrm{ABO}$:

• $\angle \mathrm{AHO}=\angle \mathrm{AOB}=90°$;

• $\angle \mathrm{HAO}=\angle \mathrm{BAO}$ (общий угол).

Следовательно, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{AOH}=39°$.

$\mathrm{BD}$ — биссектриса $\angle \mathrm{ABC}$ ⇒ $\angle \mathrm{ABC}=2\cdot \angle \mathrm{ABO}=2\cdot 39°=78°$.

$78°<90°$, значит, $\angle \mathrm{ABC}$ — искомый острый угол ромба.

Обозначения: равнобедренная трапеция $\mathrm{ABCD}$ ($\mathrm{AD}=5$, $\mathrm{BC}=3$), $\angle \mathrm{CAD}=45°$, $\mathrm{CH}$ — высота.

В равнобедренной трапеции: ${\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}=\frac{3+5}{2}=4}$.

Треугольник $\mathrm{ACH}$ — прямоугольный ($\angle \mathrm{CHA}=90°$) и равнобедренный ($\angle \mathrm{CAH}=\angle \mathrm{ACH}=45°$), следовательно, $\mathrm{CH}=\mathrm{AH}=4$.

Обозначения: равнобедренная трапеция $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{AD}$ — большее основание, $\mathrm{CH}$ — высота, $\mathrm{AH}=7$, $\mathrm{HD}=3$. Найти $\mathrm{BC}$.

$\mathrm{AD}=\mathrm{AH}+\mathrm{HD}=7+3=10$.

${\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ — свойство равнобедренной трапеции.

$\mathrm{BC}+\mathrm{AD}=2\mathrm{AH}$ — умножаем обе части на 2.

$\mathrm{BC}=2\mathrm{AH}-\mathrm{AD}=2\cdot 7-10=14-10=4$.

$\mathrm{AC}=20$, ${\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{20}{2}=10}$

${\displaystyle \mathrm{tg}\angle \mathrm{BCA}=\mathrm{0,1}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}}$,

$\mathrm{BO}=\mathrm{0,1}\cdot 10=1$

$\mathrm{BD}=2\cdot \mathrm{BO}=2$

${\displaystyle S=\frac{\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}}{2}=\frac{20\cdot 2}{2}=20}$