Совет для подготовки
Выпишите первые несколько членов
и подпишите, что они обозначают.
Перед ответом перечитайте вопрос:
«всего», «за первые несколько секунд»
и «до полной остановки» помогают
определить, какие значения нужно сложить.
Частые вопросы: сумма арифметической прогрессии
Какие задачи входят во вторую часть?
В тесте четыре типа задач:
общее количество мест в амфитеатре,
путь поезда при разгоне,
путь автомобиля за заданное время
торможения и путь до полной остановки.
Во всех случаях требуется сложить
последовательные значения,
образующие арифметическую прогрессию.
Как понять, что нужно найти сумму прогрессии?
Обратите внимание на вопрос.
Если требуется количество мест
во всех рядах или путь за несколько секунд,
нужно сложить соответствующие значения.
Формула отдельного члена
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
даёт только значение в одном ряду
или за одну секунду.
По какой формуле находят сумму?
Если известны первый член \(a_1\),
последний член \(a_n\) и число членов \(n\),
используйте:
\[
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.
\]
Если вместо последнего члена
известна разность \(d\), удобно записать:
\[
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.
\]
Обе формулы дают один и тот же результат.
Как найти общее количество мест в амфитеатре?
Количество мест в первом ряду —
это \(a_1\), прибавка между рядами —
\(d\), число рядов — \(n\).
Найдите количество мест в последнем ряду
по формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\),
затем вычислите сумму
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).
Ответом будет количество мест
во всех рядах вместе.
Как рассчитать путь поезда при разгоне?
Запишите расстояние за первую секунду
как первый член прогрессии.
Постоянное увеличение расстояния
за каждую следующую секунду —
это положительная разность \(d\).
Для пути за первые \(n\) секунд
найдите сумму \(n\) членов.
Не умножайте расстояние за последнюю
секунду на всё время движения.
Как рассчитать путь за несколько секунд торможения?
Если за каждую следующую секунду
автомобиль проходит на \(c\) метров меньше,
разность прогрессии равна \(d=-c\).
Найдите расстояния за нужное число секунд
и сложите их либо используйте формулу суммы.
В вычислениях учитывайте отрицательный
знак разности.
Как найти путь до полной остановки?
Последовательно уменьшайте расстояние
за секунду по правилу из условия.
В задачах этого типа найдите
все положительные члены до нулевого
и сложите их.
Например, последовательность
\(15,\ 10,\ 5,\ 0\)
даёт путь \(15+10+5=30\) метров.
После остановки продолжать последовательность
отрицательными расстояниями нельзя.
Нужно ли включать нулевой член при остановке?
Нулевое расстояние не меняет сумму.
Можно сложить только положительные члены
или включить следующий нулевой.
Но при использовании формулы
количество членов \(n\)
и последний член \(a_n\)
должны относиться к одному
и тому же выбранному набору.
Почему в формуле последнего члена стоит \(n-1\)?
Первый член уже задан.
Чтобы перейти от него ко второму,
нужно один раз прибавить разность,
к третьему — два раза.
Поэтому до \(n\)-го члена
выполняется \(n-1\) переходов:
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
При этом в сумму входят все \(n\) членов.
Можно ли решить задачи без формулы суммы?
Да. Если членов немного,
выпишите их и сложите.
При большом количестве удобнее формула.
Также можно объединять крайние члены
в пары: в арифметической прогрессии
\(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}\).
Это свойство помогает проверить вычисления.
Как проверить полученный ответ?
Проверьте первый член, знак разности
и количество слагаемых.
Убедитесь, что последний член вычислен
после \(n-1\) изменений.
Если все члены неотрицательны,
сумма не может быть меньше
самого большого из них.
Отдельно проверьте, что найдена сумма,
а не последний член прогрессии.
Что меняется в разных вариантах теста?
В этой части представлены все типы
соответствующего раздела банка.
В разных вариантах меняются
только числовые данные,
а типы задач и способы решения сохраняются.
Полный набор задания №14
охватывают обе части теста.
