Совет для подготовки
Начинайте решение с известных углов
и отмеченных на чертеже свойств.
Если нужный угол нельзя найти сразу,
попробуйте сначала вычислить
угол в меньшем треугольнике.
Проверяйте, не перепутали ли вы
внутренний и внешний углы,
угол при вершине и угол при основании.
Частые вопросы о задании №15 ОГЭ по математике
Что проверяет этот тест?
Умение находить углы треугольников,
применять сумму внутренних углов,
свойства равнобедренного
и прямоугольного треугольников,
биссектрисы, высоты и медианы.
В подборке восемь задач.
Чему равна сумма углов треугольника?
Сумма внутренних углов любого
треугольника равна \(180^\circ\):
\[
\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.
\]
Это свойство применяется
к остроугольным, прямоугольным
и тупоугольным треугольникам.
Как найти третий угол треугольника
по двум известным?
Сложите два известных угла
и вычтите их сумму из \(180^\circ\):
\[
\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B.
\]
Например, если два угла равны
\(48^\circ\) и \(66^\circ\),
то третий угол:
\(180^\circ-48^\circ-66^\circ=66^\circ\).
Какие свойства углов равнобедренного
треугольника нужно знать?
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны.
Если \(AB=BC\), то
\(\angle A=\angle C\).
Это позволяет находить
неизвестные углы по известному
углу при вершине или основании.
Как найти углы при основании
равнобедренного треугольника?
Вычтите угол при вершине
из \(180^\circ\) и разделите
результат на два:
\[
\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}.
\]
Здесь \(\beta\) — угол при вершине,
а \(\alpha\) — каждый угол при основании.
Например, при \(\beta=104^\circ\)
получаем
\(\alpha=\frac{180^\circ-104^\circ}{2}
=38^\circ\).
Как найти угол при вершине
равнобедренного треугольника?
Углы при основании равны.
Удвойте один из них и вычтите
результат из \(180^\circ\):
\[
\beta=180^\circ-2\alpha.
\]
Например, если каждый угол
при основании равен \(35^\circ\),
то угол при вершине:
\(180^\circ-2\cdot35^\circ=110^\circ\).
Что такое биссектриса угла треугольника?
Биссектриса треугольника —
отрезок биссектрисы угла,
соединяющий вершину с точкой
на противоположной стороне.
Она делит угол на две равные части.
Если \(AD\) — биссектриса
угла \(BAC\), то
\(\angle BAD=\angle DAC\).
Как найти угол, образованный биссектрисой?
Разделите исходный угол пополам.
Если известна одна из двух
равных частей, для нахождения
полного угла умножьте её на два.
\[
\angle BAD=\frac{\angle BAC}{2}.
\]
Например, если \(\angle BAC=42^\circ\),
то \(\angle BAD=21^\circ\).
Как решать задачи с биссектрисой
и равнобедренным треугольником?
Сначала определите равные стороны
и равные углы при основании.
Затем используйте свойство биссектрисы:
она делит угол пополам.
После этого примените сумму углов
подходящего треугольника.
Иногда нужно рассмотреть
один из треугольников,
образованных биссектрисой.
Как использовать высоту
для нахождения углов?
Высота треугольника перпендикулярна
прямой, содержащей противоположную
сторону, поэтому образует угол
\(90^\circ\).
В полученном прямоугольном
треугольнике острые углы
в сумме дают \(90^\circ\).
\[
\alpha=90^\circ-\beta.
\]
Например, если один острый угол
равен \(46^\circ\), то другой:
\(90^\circ-46^\circ=44^\circ\).
Как найти второй острый угол
прямоугольного треугольника?
Один угол прямоугольного треугольника
равен \(90^\circ\).
Поэтому сумма двух остальных
углов также равна \(90^\circ\):
\[
\alpha+\beta=90^\circ.
\]
Например, если один острый угол
равен \(23^\circ\), то другой:
\(90^\circ-23^\circ=67^\circ\).
Что такое внешний угол треугольника?
Внешний угол образуется стороной
треугольника и продолжением
другой стороны.
Он является смежным
с внутренним углом при той же вершине.
Сумма этих двух углов
равна \(180^\circ\).
Как найти внешний угол треугольника?
Вычтите внутренний угол
при той же вершине из \(180^\circ\):
\[
\beta=180^\circ-\alpha.
\]
Например, если внутренний угол
равен \(177^\circ\), то внешний:
\(180^\circ-177^\circ=3^\circ\).
Внешний угол также равен сумме
двух внутренних углов,
не смежных с ним.
Как медиана помогает определить
прямоугольный треугольник?
Если медиана треугольника
равна половине стороны,
к которой она проведена,
то треугольник прямоугольный.
Эта сторона является гипотенузой.
\[
BM=AM=MC
\quad\Longrightarrow\quad
\angle ABC=90^\circ.
\]
Здесь \(BM\) — медиана
к стороне \(AC\).
После определения прямого угла
остальные углы можно найти,
используя их сумму \(90^\circ\).
Как правильно записывать ответ?
Записывайте величину именно того угла,
который требуется найти.
Если поле предназначено
для числового ответа,
указывайте только число
без знака градуса.
Например, для угла \(40^\circ\)
нужно ввести 40.
Что меняется в разных вариантах теста?
В разных вариантах могут изменяться
числовые данные, расположение углов
и дополнительные построения.
Для решения используются сумма углов
треугольника, свойства равнобедренного
и прямоугольного треугольников,
биссектрисы, высоты, медианы
и внешнего угла.
Основные геометрические свойства
и способы вычислений сохраняются.
