Задание №8 Часть 3

ОГЭ по математике · Задание №8 · Часть 3

Задание №8: квадратные корни с переменными

Тренируйтесь упрощать выражения под квадратным корнем и вычислять их значения при заданных переменных. Применяйте свойства степеней, распознавайте полный квадрат и правильно учитывайте модуль.

заданий с корнями и переменными

Преобразуйте выражение, подставьте значения переменных и найдите точный результат.

Что будет в тесте

В подборке представлены следующие виды преобразований. Коэффициенты, показатели степеней и значения переменных могут отличаться. Ориентируйтесь на структуру конкретного выражения.

Степени под корнем: извлечение корня из произведения числового коэффициента и чётных степеней.
Частное степеней: упрощение дроби под корнем с помощью свойств степеней.
Отрицательное основание: работа с чётной степенью выражения вида −a.

Полный квадрат: преобразование трёхчлена в квадрат суммы.
Модуль: применение равенства √(u²) = |u| с учётом заданных значений переменных.
Подстановка значений: вычисления с целыми числами, обыкновенными и смешанными дробями.

Упрощайте подкоренное выражение

Применяйте свойства степеней и сокращайте общие множители перед извлечением корня.

Распознавайте полный квадрат

Проверяйте, можно ли представить сумму трёх слагаемых как квадрат двучлена по формуле сокращённого умножения.

Учитывайте знак

Помните, что арифметический квадратный корень неотрицателен. При извлечении корня из квадрата используйте модуль.

Как проходить тест

Изучите выражение. Определите, что находится под корнем, где проходят границы дроби и к чему относятся показатели степеней.
Выберите преобразование. Упростите степени и дроби или представьте трёхчлен в виде полного квадрата.
Извлеките корень с учётом модуля. Используйте равенство √(u²) = |u|. Подставьте значения переменных и определите знак выражения внутри модуля.
Вычислите и проверьте ответ. Выполните оставшиеся действия и убедитесь, что полученное значение квадратного корня неотрицательно.

Важно: √(u²) = |u|, а не всегда u. Например, при u = −5 значение √(u²) равно 5. Знак выражения нужно проверить до снятия модуля.

Другие части задания №8

Повторите свойства степеней или продолжите тренировку с числовыми выражениями под корнем.

Часть 1 — степени с переменными Часть 2 — числовые степени Часть 4 — числовые выражения с корнями

Следите за прогрессом

Посмотрите результаты подготовки, чтобы определить, какие преобразования и правила стоит повторить.

Перейти в статистику

Совет для подготовки

Перед подстановкой чисел посмотрите, можно ли упростить выражение. Если под корнем получился полный квадрат, запишите модуль отдельным шагом. Это поможет избежать ошибки при отрицательных значениях переменных.

Частые вопросы: квадратные корни с переменными

Какие задания входят в третью часть?

В подборке шесть заданий на вычисление квадратных корней из выражений с переменными. Под корнем встречаются произведения, дроби со степенями и трёхчлены, которые можно представить полным квадратом. Значения переменных указаны в условии.

Почему квадратный корень из квадрата равен модулю?

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, а выражение, возведённое в квадрат, может быть отрицательным. Поэтому √(u²) = |u|. Если u ≥ 0, модуль равен u; если u < 0, модуль равен −u. Например, √((−7)²) = 7.

Как извлекать корень из чётной степени?

Представьте степень как квадрат: a²ⁿ = (aⁿ)². Тогда √(a²ⁿ) = |aⁿ|. Например, √(a⁶) = |a³|, а √(a⁴) = a², поскольку a² неотрицательно. Не убирайте модуль без проверки знака.

Как упростить частное степеней под корнем?

При одинаковом ненулевом основании вычтите показатель знаменателя из показателя числителя. Например, a¹⁰ / a⁴ = a⁶ при a ≠ 0. Затем извлеките корень, учитывая правило модуля. Сохраняйте ограничение: знаменатель исходного выражения не должен равняться нулю.

Как распознать полный квадрат под корнем?

Используйте формулу u² + 2uv + v² = (u + v)². Проверьте, что первое и последнее слагаемые являются квадратами, а среднее — удвоенным произведением соответствующих выражений. Например, a² + 4ab + 4b² = (a + 2b)². После извлечения корня получится |a + 2b|.

Можно ли извлекать корень из каждого слагаемого отдельно?

Нет. Квадратный корень из суммы в общем случае не равен сумме корней. Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. Сначала упростите всё подкоренное выражение или представьте его полным квадратом.

Как учитывать минус в выражении (−a) в чётной степени?

При возведении в чётную степень знак минус внутри скобок исчезает: (−a)⁴ = a⁴. Но запись −a⁴ без скобок означает противоположное число к a⁴. Внимательно проверяйте, входит ли минус в основание степени.

Когда можно разделить корень на отдельные множители?

Равенство √(uv) = √u · √v применяют при u ≥ 0 и v ≥ 0. Для частного √(u/v) = √u / √v нужны условия u ≥ 0 и v > 0. Перед преобразованием проверьте знаки выражений и ненулевой знаменатель.

Как подставлять обыкновенные и смешанные дроби?

Сначала упростите выражение, затем подставьте заданные значения. Смешанную дробь при необходимости переведите в неправильную. Выполняйте действия точно: не заменяйте дроби приближёнными десятичными значениями без необходимости.

Может ли ответ в этих заданиях быть отрицательным?

В представленной подборке требуется найти значение арифметического квадратного корня, поэтому результат неотрицателен. Если получился минус, проверьте раскрытие модуля и вычисления. Это правило относится к самому корню: знак более сложного выражения зависит также от действий вне корня.

Могут ли вопросы отличаться от приведённых примеров?

Да. Описание отражает представленную подборку, а не все возможные формулировки задания №8. Коэффициенты, степени и значения переменных могут меняться. Каждый раз проверяйте структуру выражения, допустимость преобразований и знак величины внутри модуля.

Продолжить