Задание 14 ОГЭ по математике — прогрессии

Это задача на геометрическую прогрессию: каждый следующий отскок в 2 раза меньше предыдущего.

Важно правильно перевести 4 м = 400 см и не ошибиться, с какого по счёту прыжка идёт проверка.

1. Переведём начальную высоту подскока в сантиметры для удобства расчётов:

${\displaystyle 4\text{ м}=400\text{ см}}$.

2. Последовательно вычислим высоту каждого подскока, уменьшая предыдущую высоту вдвое, пока не получим значение меньше 20 см:

• 1‑й подскок: ${\displaystyle 400\text{ см}}$;

• 2‑й подскок: ${\displaystyle \frac{400}{2}=200\text{ см}}$;

• 3‑й подскок: ${\displaystyle \frac{200}{2}=100\text{ см}}$;

• 4‑й подскок: ${\displaystyle \frac{100}{2}=50\text{ см}}$;

• 5‑й подскок: ${\displaystyle \frac{50}{2}=25\text{ см}}$;

• 6‑й подскок: ${\displaystyle \frac{25}{2}=\mathrm{12,5}\text{ см}}$.

3. Анализируем результаты: на 6‑м подскоке высота (${\displaystyle \mathrm{12,5}\text{ см}}$) впервые становится меньше 20 см.

Сначала нужно понять, сколько прошло одинаковых временных промежутков, а затем определить, это прибавление на одно и то же число или изменение в одно и то же число раз.

После этого используется формула n-го члена прогрессии.

1. Определим число интервалов роста за 60 минут, учитывая, что масса увеличивается каждые 20 мин:

${\displaystyle \frac{60}{20}=3}$ интервала.

2. Поскольку масса колонии увеличивается в 3 раза за каждый интервал, вычислим массу через 3 интервала. Начальная масса – 17 мг:

${\displaystyle 17\cdot 3^3=17\cdot 27=459}$ мг.

3. Таким образом, масса колонии микроорганизмов через 60 минут составит:

${\displaystyle m=459}$ мг.

Обычно это арифметическая прогрессия. Нужно определить первый член, разность, а затем найти нужный ряд по формуле n-го члена.

Если спрашивают общее количество мест, используется формула суммы.

1. Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:

${\displaystyle a_1=22}$ (мест в 1‑м ряду); ${\displaystyle d=2}$ (разность прогрессии); ${\displaystyle n=12}$ (номер искомого ряда).

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии:

${\displaystyle a_n=a_1+d\cdot (n-1)}$.

3. Подставляем значения для n = 12:

${\displaystyle a_{12}=22+2\cdot (12-1)=22+22=44}$.

Если спрашивают расстояние за конкретную секунду, нужен n-й член. Если спрашивают общий путь за несколько секунд — нужна сумма.

Главная ошибка — искать n-й член там, где надо находить сумму.

1. Пройденные за каждую секунду расстояния образуют арифметическую прогрессию:

${\displaystyle a_1=20\text{ м}}$ (проехал за 1‑ю секунду); ${\displaystyle d=-4\text{ м}}$ (каждую следующую секунду проезжает на 4 м меньше).

2. Найдём, через сколько секунд автомобиль остановится (n). Остановка произойдёт, когда a_n = 0. Используем формулу n-го члена:

${\displaystyle a_n=a_1+d\cdot (n-1)}$.

${\displaystyle 0=20+(-4)\cdot (n-1)}$.

${\displaystyle 4(n-1)=20}$.

${\displaystyle n-1=5}$.

${\displaystyle n=6}$.

Значит, автомобиль остановится на 6‑й секунде.

3. Вычислим общий путь (S_n) до остановки. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

${\displaystyle S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n}$.

${\displaystyle S_6=\frac{(20+0)}{2}\cdot 6=10\cdot 6=60\text{ м}}$.