Задание 8 ОГЭ по математике — степени и корни, разбор и тренажёр

26 сентября

Задание №8 ОГЭ по математике связано со степенями и арифметическими корнями. В этих задачах нужно упростить выражение и найти его точное значение, используя свойства степеней, формулы сокращённого умножения и правила работы с квадратными корнями.

В открытом банке ФИПИ задание №8 встречается в нескольких вариантах: со степенями, арифметическими корнями, а также с буквенными выражениями. Чтобы правильно решить такую задачу, важно знать основные формулы и уметь применять свойства степеней и корней при преобразовании выражений.

На этой странице вы найдёте теорию задания №8 ОГЭ, примеры задач с подробным разбором, типичные ошибки учеников и онлайн-тренажёр для практики. Это поможет понять, как решать 8 задание ОГЭ по математике и уверенно выполнять задачи этого типа на экзамене.

Что нужно для задания №8

В задании №8 ОГЭ по математике нужно работать со степенями и арифметическими корнями. Встречаются как числовые, так и буквенные выражения.

Ниже – алгоритм решения, основные формулы, разборы заданий, тренажёры по 4 типам, типичные ошибки и короткая теория.

Типичные ошибки
Короткая теория
Типы задания №8
Пробный вариант

Как решать задание №8 ОГЭ

Задание №8 ОГЭ по математике обычно требует найти значение выражения. Для решения нужно применять свойства степеней, извлекать квадратные корни и правильно преобразовывать выражения.

Алгоритм решения

1. Определите тип задания

Посмотрите, что именно дано в выражении: степени, арифметические корни или буквенные выражения. От этого зависит, какое правило нужно применить.

2. Примените нужные свойства

Для степеней используйте правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а также правило степени в степени. Для корней – извлечение точного квадратного корня.

3. Упростите выражение

После применения формул выражение обычно упрощается до обычного числа. В задании №8 ответ должен получиться точным – чаще всего это целое число или десятичная дробь.

4. Проверьте результат

Перед записью ответа ещё раз проверьте знак выражения, показатель степени и результат извлечения корня – именно здесь чаще всего возникают ошибки.

Быстро по делу

в задании №8 нужны свойства степеней и корней;
бывают числовые и буквенные выражения;
ответ должен быть точным;
со знаком и степенью нужно быть особенно внимательным.

Что дальше

Сначала изучите формулы и посмотрите разборы, затем переходите к тренировке.

Чем больше задач вы решите, тем быстрее начнёте узнавать нужное свойство с первого взгляда.

Формулы и свойства задания №8

Свойства степеней

a^m · aⁿ = a^m+n
a^m : aⁿ = a^m−n
(a^m)ⁿ = a^mn

Арифметический корень

√a – неотрицательное число
√a² = |a|
извлекать корень можно только из точного квадрата

Формулы сокращённого умножения

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a−b)(a+b)

Знаки и отрицательные числа

отрицательное число в чётной степени даёт плюс;
отрицательное число в нечётной степени даёт минус;
корень не может быть отрицательным.

Разбор заданий №8

Разбор 1. Свойства степеней в буквенном выражении

$\frac{{(a^{3})}^{8} \cdot a^{7}}{a^{29}} = \frac{a^{24} \cdot a^{7}}{a^{29}} = \frac{a^{31}}{a^{29}} = a^{2}$ ;

При $a = 7$ ⇒ $7^{2} = 49$ .

Правило: умножаем показатели при возведении в степень, складываем при умножении и вычитаем при делении.

Ответ: 49

Разбор 2. Свойства степеней в числовом выражении

$\frac{1}{5^{- 8}} \cdot \frac{1}{5^{6}} = 5^{8} \cdot 5^{- 6} = 5^{8 - 6} = 5^{2} = 25$ .

Правило: при смене занака показателя степени, степень надо перенести из знаменателя в числитель или наоборот.

Ответ: 25

Разбор 3. Возведение скобки в степень

$\frac{{(2 \cdot 6)}^{7}}{2^{5} \cdot 6^{6}} = \frac{2^{7} \cdot 6^{7}}{2^{5} \cdot 6^{6}} = 2^{7 - 5} \cdot 6^{7 - 6} = 2^{2} \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$ .

Правило: при возведении скобки с множителями в степень, каждый множитель возводится в эту степень.

Ответ: 24

Разбор 4. Корни с буквенными выражениями

$\sqrt{\frac{16 x^{4}}{y^{10}}} = \frac{4 x^{2}}{y^{5}}$ .

При $x = 8$ , $y = 2$ :

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{2^{5}} = \frac{256}{32} = 8$ .

Правило: при извлечении арифметического корня из дроби, каждый множитель извлекается отдельно.

Ответ: 8

Разбор 5. Формулы сокращённого умножения

$\sqrt{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}} = \sqrt{{(a + 2 b)}^{2}} = | a + 2 b |$

При $a = 2$ , $b = - 4$ :

$| 2 + 2 \cdot (- 4) | = | 2 - 8 | = | - 6 | = 6$

Правило: при извлечении арифметического корня, всегда получается неотрицательное значение.

Ответ: 6

Разбор 6. Формулы сокращённого умножения

$(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5^{2}} - \sqrt{3^{2}} = 5 - 3 = 2$

Правило: произведение разности и суммы двух выражений равняется разности квадратов этих выражений. Формула сокращенного умножения 7 класс.

Ответ: 2

Тренажёр задания №8 ОГЭ

Теперь попробуйте решить задания №8 самостоятельно.

В задании №8 встречаются четыре основных типа задач. Выберите нужный тренажёр и начните тренировку. Задания генерируются из банка ФИПИ, поэтому каждый раз вы получаете новый вариант.

Тип задания	Тренажёр
Степени – числовые выражения	Начать тест
Степени – буквенные выражения	Начать тест
Корни – числовые выражения	Начать тест
Корни – буквенные выражения	Начать тест

Типичные ошибки в задании №8

Ошибка 1. Неправильно извлекают корень

Например, считают, что √16 = 8, хотя правильный ответ – 4. Корень – это число, квадрат которого даёт исходное значение.

Ошибка 2. Неверно возводят число в степень

Например, считают, что 4³ = 12, хотя это 4 · 4 · 4 = 64.

Ошибка 3. Путают свойства степеней

Ученики не различают, когда показатели нужно складывать, а когда умножать. Это особенно часто встречается в буквенных выражениях.

Ошибка 4. Ошибаются со знаком

Отрицательные числа в степени требуют внимательности: знак зависит от чётности показателя.

Как избежать ошибок

всегда проверяйте знак результата;
не путайте степень и умножение;
помните, что арифметический корень не бывает отрицательным;
перед решением определяйте, какое свойство нужно применить.

Короткая теория задания №8

Степени

В заданиях со степенями важно знать свойства степеней с одинаковыми основаниями, уметь возводить степень в степень и правильно работать с отрицательными числами.

Арифметические корни

Арифметический квадратный корень – это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.

Буквенные выражения

В буквенных выражениях нужно особенно внимательно применять свойства степеней и корней, не теряя знак и показатель степени.

Формулы сокращённого умножения

Иногда в задании №8 встречаются выражения, которые удобно упрощать через квадрат суммы, квадрат разности или разность квадратов.

Типы задания №8 ОГЭ

Степени – числовые выражения

Нужно упростить числовое выражение со степенями и найти его значение.

Степени – буквенные выражения

В этом типе заданий применяются свойства степеней с буквенными основаниями.

Корни – числовые выражения

Здесь нужно извлекать корни из чисел и упрощать числовые выражения.

Корни – буквенные выражения

В этих заданиях встречаются корни в сочетании с буквенными выражениями и преобразованиями.

Пробный вариант ОГЭ по математике

Проверьте свою подготовку к экзамену.

Решите пробный вариант ОГЭ по математике в формате настоящего экзамена. После прохождения вы увидите результат и сможете разобрать ошибки.

19 заданий из первой части как на реальном ОГЭ;
автоматическая проверка ответов;
мгновенный результат.

Решить пробный вариант

Задание 8 ОГЭ по математике – степени и арифметические корни

Что нужно для задания №8

Что есть на странице

Как решать задание №8 ОГЭ

Алгоритм решения

Быстро по делу

Что дальше

Формулы и свойства задания №8

Свойства степеней

Арифметический корень

Формулы сокращённого умножения

Знаки и отрицательные числа

Разбор заданий №8

Разбор 1. Свойства степеней в буквенном выражении

Разбор 2. Свойства степеней в числовом выражении

Разбор 3. Возведение скобки в степень

Разбор 4. Корни с буквенными выражениями

Разбор 5. Формулы сокращённого умножения

Разбор 6. Формулы сокращённого умножения

Тренажёр задания №8 ОГЭ

Типичные ошибки в задании №8

Ошибка 1. Неправильно извлекают корень

Ошибка 2. Неверно возводят число в степень

Ошибка 3. Путают свойства степеней

Ошибка 4. Ошибаются со знаком

Как избежать ошибок

Короткая теория задания №8

Степени

Арифметические корни

Буквенные выражения

Формулы сокращённого умножения

Типы задания №8 ОГЭ

Степени – числовые выражения

Степени – буквенные выражения

Корни – числовые выражения

Корни – буквенные выражения

Пробный вариант ОГЭ по математике

Похожие тесты

Задание 6 ОГЭ по математике – значение выражения

Задание 7 ОГЭ по математике – сравнение чисел

Учителю

Онлайн